Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность

Применение вписанного четырехугольника в решении задач

1. Актуальность проблемы

Вписанные многоугольники изучаются с 8 класса. В основном преобладают задачи на вписанный треугольник, так как любой треугольник можно вписать в окружность. Задачи на вписанный четырехугольник чаще встречаются в олимпиадных заданиях. Очевидно, что около прямоугольника, квадрата, равнобедренной трапеции можно описать окружность. В остальных случаях имеет место признак вписанного четырехугольника, который говорит о том, что сумма противолежащих углов должна равняться 180˚.

«Вписанный четырехугольник в задачах возникает как-то «вдруг», демонстрируя взаимосвязь, гармонию геометрических объектов» (Г.И.Саранцев).

Вписанные углы, угол между касательным и секущим, внешние углы все взаимосвязаны со вписанным четырехугольником.

Проблема заключается в том, что в задачах эти и другие объекты комбинированы по-разному, поэтому увидеть нужную ситуацию бывает сложно. В поисках решения данной проблемы нужно вокруг задачи о вписанном четырехугольнике конкретизировать и обобщить необходимые сведения в виде блока полезных фактов для решения задач на данную тематику. В блоке задачи опираются на решение предшествующей задачи, дополняя его новыми действиями.

2. Цели и задачи

Цель работы: изучение методов решения задач с применением свойств вписанного четырехугольника.

Для этого необходимо:

  1. обобщить знания о вписанном четырехугольнике;

  2. вести поиск новых методов с помощью разбора олимпиадных задач;

  3. выделить основные свойства, применяемые при решении задач;

  4. привести блок полезных фактов по применению свойств вписанного четырехугольника.

  1. Блок полезных фактов

Задача 3.1.

Доказать, что:

АМВ = ½ (ˇCLD +ˇAKB)

Решение:

Проведём хорду ВС. Так как АМВ – внешний угол треугольника ВМС, то АМВ =

1 + 2. По теореме о вписанном угле 1 = ½ ˇCLD, 2 = ½ ˇAKB, поэтому АМВ = ½ (ˇCLD+ˇAKB).

Задача 3.2

Доказать, что четырёхугольник ABCDвписан в окружность тогда и только тогда, когда..ABD = ACD.

Решение:

ABD = ACD - вписанные углы, опирающиеся на дугу AD.

Около треугольника АВС можно описать

окружность. На дуге ВС возьмем любую точку

С. Получаем вписанный угол, опирающийся на дугу АД, который равен вписанному углу АВД.

Отсюда четырехугольник АВСД – вписанный.

Задача 3.3

Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника АВСО можно описать окружность.

Решение:

В + А = 90˚ + 90˚ = 180˚

В + А + С + О = 360˚

С + О = 180˚

По свойству вписанного четырехугольника АВСО является вписанным.

  1. Решение задач

Задача 1

Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Решение:

Допустим обратное. Необязательно параллелограмм прямоугольник. Значит, какие то противолежащие углы в сумме дают меньше 180˚. Пусть это будут углы В и D.

D + B < 180˚

Так как параллелограмм вписанный:

D+ B = ½ˇADC+ ½ˇABC= ½ (ˇADC+ˇABC)

D+ B = ½ 360˚ = 180˚

Противоречие. Аналогично, если вместо данных углов брать углы А и С.

Значит, параллелограмм прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Задача 2

Докажите, что если ромб можно вписать в окружность, то этот ромб – квадрат.

Решение:

Допустим обратное. Этот ромб не является квадратом, но, тем не менее, вписан в окружность. Т. е. углы не равны 90. Значит:

D + B < 180˚

Так как ромб вписанный:

D+ B = ½ˇADC+ ½ˇABC= ½ (ˇADC+ˇABC)

D+ B = ½ 360˚ = 180˚

Противоречие. Аналогично, если вместо данных углов брать углы А и С.

Значит, стороны ромба равны 90˚. У ромба все стороны равны.

Значит, ромб является квадратом.

Задача 3

Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Решение:

Допустим обратное. Трапеция неравнобедренная.

Углы САВ и DCA равны. Также и углы BDC иABD.

С другой стороны, углы с общими дугами равны: DAC и DBC, ADB и ACB. Так как трапеция вписана, углы ABD и ACD обязательно равны.

Углы D и С равны и трапеция ABDC равнобедренная.

Задача 4

Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180˚, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение:

Пусть в четырёхугольнике ABCD

А + С = 180˚.

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: A, B и D – и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёхугольника. Предположим что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай. В этом случае С = ½(ˇDAB + 8 ˇEF), и, следовательно, С > ½ˇDAB. Т. к. А = ½ˇBED, то А + С > ½(ˇBED + ˇDAB) = ½ 360˚ = 180˚.

Задача 5

Докажите, что около выпуклого четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции можно описать окружность.

Решение:

Из предыдущих задач нам известно, что если противоположные углы в сумме дают 180˚, то четырёхугольник можно вписать.

Докажем, что в данном четырёхугольнике углы дают в сумме 180˚.

5 = 180˚ - 3 - 4

6 = 180˚ - 2 - 1


5 + 6 = 360˚ - 180˚ = 180˚

Задача 6

Внутри параллелограмма АВСDвыбрана точка М, а внутри треугольника АМD точкаN таким образом, что МNА + МСВ = МND + МВС = 180˚. Докажите, что прямые МNи АВ параллельны.

Решение:́

Пусть при параллельном переносе на вектор ВА точка М перешла в точкуМ ́, при этом ∆ ВМС → в ∆ АМ ́D.

АМD+ AND = BMC+ AND + (180˚ - MCB- MCB) + (360˚ − MNA- MND) = 180˚ + 360˚ - ( MNA + MCB) – ( MND + MBC) = 180˚

Четырёхугольник ANDM ́ вписанный вписанный. Поэтому M ́ND = M ́AD(вписанные углы), и MND+ M ́ND= MND + MÁD = MND+ MBC = 180˚

Значит точки M, Nи M ́ лежат на одной прямой, и MN|| MM ́ = BA.

Задача 11

Диагонали четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Е. На прямой АС взята точка М, причём DМЕ = 80˚, АВD = 60˚ , СВD = 70˚. Где расположена точка М : на диагонали или на её продолжении? Ответ обосновать.


Решение:

Рассмотрим все возможные варианты расположения точки М.

  1. Пусть точка М расположена на продолжении диагонали АС за точку А. В этом случае получаем, что САD = CBD = 60˚. Но угол САD внешний угол ∆ DАМ, поэтому его мера должна быть больше меры угла DМА. Но это противоречит условию задачи. Таким образом, точка М не может располагаться на продолжении диагонали АС за точку А.

  2. Пусть теперь точка М расположена на продолжении диагонали АС за точку С. В этом случае АСD = АВD = 70˚. Но, как и в предыдущем случае, угол АСD внешний угол треугольника DМС. Следовательно, АСD > DMC. Поэтому точка М не может быть расположена на продолжении диагонали АС за точку С.

  3. Следовательно, точка М расположена на диагонали АС.

Ответ: на диагонали

Задача 12

Пусть точки А, В, С лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке В. Из точки Р, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры РА¹ и РС¹ на прямые АВ и ВС соответственно (точки А¹ и С¹ лежат на отрезках АВ и ВС). Докажите, что А¹С¹ АС. (Л. Емельянов)

Решение:

Поскольку РС¹В = РА¹В = 90˚, четырёхугольник РА¹С¹В вписанный. Значит, СС¹А = 180˚ - А¹СВ = А¹РВ = 90˚ - А¹ВР. С другой стороны, А¹ВР = АСВ = ½ АВ. Поэтому СС¹А¹ = А¹РВ = 90˚ - АСС¹, то есть прямые А¹С¹ иАС пересекаются под прямым углом.


Источник: http://gigabaza.ru/doc/54498.html


Систематизация знаний по геометрии при подготовке к ЕГЭ по теме Гдз русский язык тетрадь 1 иванов 1 класс



Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник - Математика
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Свойства четырехугольника вписанного в окружность
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Вписанный четырехугольник. Задание В7
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Четырёхугольник вписан в окружность
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Задачи 6. Многоугольник и окружность
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Каталог по темам Задачи
Решение задачи на четырехугольник вписанный в окружность Door designs photos sri lanka - m
MAXimal : bookz Бесплатные дипломные работы по теме педагогика, скачать ГДЗ - Готові домашні завдання t Гдз по кубановедению 7 класс Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей Готовые домашние задания и ответы к рабочим Домашние задания и решебники 4-11 класс ГДЗ от Путина Задачи на движение. Средний уровень. - Математика онлайн с Youclever. org!