Решение задач двойственным симплексным методом

решение задач двойственным симплексным методом На главную страницу

Двойственность в линейном программировании

В конец страницы

11.4.  ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

      Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.

Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной  и только в оптимуме для всех  разность .

Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать

.

Таким образом, если , то . Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение двойственной задачи недопустимое. С другой стороны   при . Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое решение двойственной задачи.

Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое, но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода, обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.

Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.

Пример. Найти минимум функции

при ограничениях

.

Перейдем к канонической форме:

при ограничениях

Начальная симплекс-таблица имеет вид

 

Базисные

переменные

x1

x2

x3

x4

x5

Решение

x3

x4

x5

–3

–4

1

–1

–3

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

–3

–6

3

 

–2

–1

0

0

0

0

Начальное базисное решение  оптимальное, но не допустимое.

Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости  и оптимальности.

Условие допустимости. В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.

Условие оптимальности. Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.

После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк двойственным симплекс-таблицы.

В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:

Переменные

x1

x2

x3

x4

x5

-уравнение

x4-уравнение

–2

–4

–1

–3

0

0

0

1

0

0

Отношение

В качестве включаемой переменной выбирается x2. Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:

Базисные

переменные

x1

x2

x3

x4

x5

Решение

x3

x2

x5

0

1

0

1

0

0

0

0

1

–1

2

–1

 

0

0

0

2

Новое решение  также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x3. Определим включаемую переменную.

Переменные

x1

x2

x3

x4

x5

-уравнение

x4-уравнение

0

0

0

1

0

0

отношение

1

 Вводимой в базис переменной является x1 и в результате получим следующую симплекс-таблицу:

Базисные

переменные

x1

x2

x3

x4

x5

Решение

x1

x2

x5

1

0

0

0

1

0

–1

1

0

0

1

0

 

0

0

0

        Полученное решение x1=, x2= является оптимальным и допустимым.

       Двойственный симплекс-метод удобен тем, что его можно применять в том случае, когда решается не одна, а несколько задач линейного программирования с возрастающим количеством дополнительных ограничений.

 

Назад     К началу страницы     Вперед


Источник: http://www.math.mrsu.ru/text/courses/method/dvoistvennii_simplex.htm


Пример решения прямой и двойственной задачи симплекс методом Www гдз 4 класс



Решение задач двойственным симплексным методом Калькулятор онлайн решения двойственной задачи линейного
Решение задач двойственным симплексным методом ДВОЙСТВЕННЫЙ СИМПЛЕКС МЕТОД ОНЛАЙН Двойственность в ЗЛП
Решение задач двойственным симплексным методом Симплекс метод примеры Решение двойственной задачи
Решение задач двойственным симплексным методом Двойственный симплекс -метод Студопедия
Решение задач двойственным симплексным методом Двойственный симплексный метод
Двойственный симплекс -метод Nigeria house plans photos - m Блоги Гдз по риторике класс архарова ГДЗ для 7 класса Физика : Перышкин А.В. бесплатный онлайн решебник ГДЗ по Математике для 3 класса Истомина Н.Б. часть 1, 2 на 5